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予定通り、アップグレード完了しました。
全く特に、問題なかったです。
新しいwordpressは、上記のように、画像に対してcssを当ててくれるみたい。
参考にさせてもらったのはこちらのエントリ。
ポイントとしては、この２点。
・wp-contentの中身は全部書き換えず、一部継承する（本ブログの場合は画像の入っているwp-content/uploads）
・wp-config.phpはあらかじめローカルで書き込んでアップ
これらを踏まえた上でアップし、upgrade.phpにアクセスした。
すると、「データベースを更新しますか？」というメッセージが出たので、「更新」と押した。
以上。
すごいヒヤヒヤしながら進めたけど、一応うまくいったっぽい。
全部終わってから気づいたけど、公式のドキュメントあるじゃん！
見てればよかった。まあどっちにしろヒヤヒヤしただろうけど。
あ、あとME2.1.3からいきなり2.6.2に行くのが怖かったので、ME2.1.3→2.5.1→2.6.2の２段階でアップグレードしました。
何はともあれ、無事に済んでよかった。